Black-Scholes

Black-Scholes公式

对于看涨期权：

$$C = SN(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$$

对于看跌期权：

$$P = Ke^{-rT}N(-d_2) - SN(-d_1)$$

其中：

$$d_1 = \frac{ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$$

$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

每个符号的含义如下：

• $S$：标的资产价格
• $K$：期权行权价
• $r$：无风险利率
• $\sigma$：标的资产价格的波动率
• $T$：期权到期时间
• $N(x)$：标准正态分布的累积分布函数

计算隐含波动率（Implied Volatility）

隐含波动率是指使得期权价格等于市场价格的波动率。在Black-Scholes公式中，隐含波动率是一个输入量，而不是输出量。因此，我们需要通过迭代的方式来计算隐含波动率。

蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）

蒙特卡洛模拟在反推隐含波动率中可以通过生成大量随机路径来估计期权价格。以下是一个简化的例子来说明这个方法：

假设我们有一份欧式看涨期权，标的资产（比如股票）的当前价格为$100$，行权价为$100$，无风险利率为$0.05$，波动率为$0.2$，期权到期时间为$1$年。我们可以通过蒙特卡洛模拟生成大量的股票价格路径，然后计算每条路径上期权的收益，最后取平均值作为期权的价格。